Question

9．已知关于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²-1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂+x₁x₂=5，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）当方程有两个不相等的实数根时，△＞0，列式计算出m的值；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x₁+x₂+x₁x₂=5中得：m₁=4，m₂=-2，再根据△的取值确定其m的值．

解答 解：（1）△=[2（m+1）]²-4×1×（m²-1）＞0，
4（m+1）²-4m²+4＞0，
8m＞-8，
m＞-1，
则当m＞-1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）x₁+x₂=-2（m+1）=-2m-2，x₁x₂=m²-1，
x₁+x₂+x₁x₂=5，
-2m-2+m²-1=5，
m²-2m-8=0，
（m-4）（m+2）=0，
m₁=4，m₂=-2，
∵方程两实数根分别为x₁，x₂，
∴△≥0，
∴m≥-1，
∴m=4．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，①x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，②一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．要注意第（2）中根据已知式子得出m的值后，利用根的判别式进行取舍．