Question

已知关于x 的一元二次方程（m+2）x²-2x-1=0．
（1）若此一元二次方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若关于x的二次函数y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1的图象都经过x轴上的点（n，0），求m的值；
（3）在（2）的条件下，将二次函数y₁=（m+2）x²-2x-1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y₃的图象．请你直接写出二次函数y₃的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数y₃的值大于二次函数y₂的值．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据一元二次方程的定义和根的判别式列出式子，即可求出m的取值范围．
（2）本题需把点（n，0）代入y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1中，即可求出结果．
（3）本题须根据二次函数的图象的移动规律，求出y₃的解析式，再结合函数的图象即可求出答案．

解答：解：（1）根据题意，得

m+2≠0 △=(-2)2-4(m+2)×(-1)≥0

解得

m≠-2 m≥-3

∴m的取值范围是m≥-3且m≠-2．

（2）∵关于x的二次函数y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1的图象都经过x轴上的点（n，0），
∴（m+2）n²-2n-1=（m+2）n²+mn+m+1．
可得-2n-1=mn+m+1，
∴-2n-mn=m+2，
∴-n（2+m）=2+m，
解得n=-1，
∴y₁=（m+2）x²-2x-1，
0=（m+2）+2-1，
m=-3，


（3）∵y₁=-x²-2x-1，y₂=-x²-3x-2，
又∵将二次函数y₁=（m+2）x²-2x-1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，
∴y₃=x²+2x-2，
∴y₂与y₃的交点为（0，-2），（-

5

2

，-

3

4

），
当x的取值范围是x＞0或x＜-

5

2

时，二次函数y₃的值大于二次函数y₂的值．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数的定义、性质和解析式求法．