Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙0与BC、CA、AB分别切于点D、E、F．
（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半径；
（2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=40cm，AB=50cm，
由勾股定理得：AC=30cm，
设⊙O半径是R，则OE=OD=OF=R，
∵⊙O是△ACB的内切圆，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∴由三角形面积公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO=（AC+BC+AB）R=AC×BC，
∴（40+30+50）R=30×40，解得R=10cm，
即⊙0的半径为10cm；

（2）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，
⊙O半径是r，则OE=OD=OF=r，
∵⊙O是△ACB的内切圆，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∵△ABC的周长为l，
∴AC+BC+AB=l，
∴由三角形面积公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO
=×AC×r+×BC×r+×AB×r=（AC+BC+AB）×r
=lr，
即△ABC的面积是lr．
分析：（1）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，由勾股定理求出AC=30cm，由三角形面积公式得出（AC+BC+AB）R=AC×BC，代入求出即可；
（2）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，⊙O半径是r，则OE=OD=OF=r，由三角形面积公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO，代入求出即可．
点评：本题考查了三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理的应用，注意：如果R为三角形ABC的内切圆的半径，则三角形ABC的面积为（AC+BC+AB）R．