已知AB∥CD.点E为直线AB.CD所确定的平面内一点．(1)如图1.若AE⊥AB.求证:∠C+∠E=90°,(2)如图2.点F在BA的延长线上.连接BE.EF.若CE⊥CD.EF平分∠AEC.∠B=∠AEB.则∠BEF的度数为45°．的条件下.如图3.过点F作∠BFG=∠BFE交EC的延长线于点G.连接DF.作∠DFG的平分线交CD于点H.当FD∥BE时.求∠CHF的度数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．已知AB∥CD，点E为直线AB、CD所确定的平面内一点．

（1）如图1，若AE⊥AB，求证：∠C+∠E=90°；
（2）如图2，点F在BA的延长线上，连接BE、EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，则∠BEF的度数为45°．
（3）在（2）的条件下，如图3，过点F作∠BFG=∠BFE交EC的延长线于点G，连接DF，作∠DFG的平分线交CD于点H，当FD∥BE时，求∠CHF的度数．

分析（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°；
（2）延长BF，交CE与G，则易得∠EGB=90°，然后由三角形内角和定理得出2∠AEF+2∠AEB=90°，即可得出∠BEF=45°；
（3）根据平行线的性质得出∠D=∠BFD=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=$\frac{1}{2}$∠DFG+∠D，然后根据已知条件和三角形内角和定理即可求得∠CHF=$\frac{1}{2}$∠BFE+$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEF-∠B）+$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$（180°-45°-∠B）+$\frac{1}{2}$∠B=67.5°．

解答解：（1）证明：延长BA，交CE与F，如图1：
∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠C，
∴∠EAB=∠EFA+∠E=∠E+∠C，
∵AE⊥AB，
∴∠E+∠C=90°；
（2）解：延长BF，交CE与G，如图2：
∵AB∥CD，CE⊥CD，
∴∠EGB=90°，
∴∠GEB+∠B=90°，
∵∠GEF=∠AEF，∠AEB=∠B，
∴2∠AEF+2∠AEB=90°，
∴∠AEF+∠AEB=45°，
即∠BEF=45°，
故答案为45°．
（3）如图3，∵∠CHF=∠DFH+∠D，∠DFH=$\frac{1}{2}$∠DFG，
∴∠CHF=$\frac{1}{2}$∠DFG+∠D，
∵AB∥CD，FD∥BE，
∴∠D=∠BFD=∠B，
∴∠DFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=$\frac{1}{2}$∠DFG+∠D=$\frac{1}{2}$（∠BFG-∠B）+∠B=$\frac{1}{2}$∠BFG+$\frac{1}{2}$∠B，
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=$\frac{1}{2}$∠BFE+$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEF-∠B）+$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$（180°-45°-∠B）+$\frac{1}{2}$∠B=67.5°．

点评本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．

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