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(2011山东济南,28,9分)如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.

(1)求证:△ACE≌△DCB;

(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由;

(3)求证:∠APC=∠BPC.

 

(1)证明:∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,

∴∠ACE=∠DCB,

又∵CA=CD,CE=CB,

∴△ACE≌△DCB.

(2)△AMC∽△DMP.

理由:∵△ACE≌△DCB,

∴∠CAE=∠CDB,

又∵∠AMC=∠DMP,

∴△AMC∽△DMP.

(3)∵△AMC∽△DMP,

∴MA:MD=MC:MP.

又∵∠DMA=∠PMC,

∴△AMD∽△CMP,

∴∠ADC=∠APC.

同理∠BEC=∠BPC.

∵CA=CD,CB=CE,

∴∠ADC=(180°﹣∠ACD),

∠BEC=(180°﹣∠BCE).

∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ADC=∠BEC,

∴∠APC=∠BPC.

解析:略

 

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