Question

已知如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D．
（1）求点A、B的坐标和AD的长；
（2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了直线AB的解析式，令解析式的y=0，可得出A点的坐标．令x=0，可得出B点的坐标．由于∠BAC=90°且AB=AC，可证得△AOB≌△COA，由此可得出OB=AD，OA=CD，由此可求出AD的长；
（2）在（1）中不难得出D点的坐标，然后根据A、B、D三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）对于直线y=-2x+2，
令x=0，求得y=2，即B（0，2）；令y=0，求得x=1，即A（1，0），
∵∠BAC=90°，
∴∠ABO=∠CAD=90°-∠OAB，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB=∠CDA=90° ∠ABO=∠CAD AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2；

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-n）
由（1）可得：D点坐标为（3，0），又A（1，0），B（0，2）
∴

m=1 n=3 2=a(0-m)(0-n)

，
解得：

a= 2 3 m=1 n=3

，
∴所求解析式为y=

2

3

（x-1）（x-3）
即y=

2

3

x²-

8

3

x+2．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定等知识．