【题目】已知：如图，
中，
，以
为直径的⊙O交
于点
，
于点
．
（1）求证：
是⊙O的切线；
（2）若
，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题（1）由OB=OP可得∠B=∠OPB，由
可得∠B=∠C，即可证得OP∥AC，再结合
即可证得结论；
(2)连接AP，根据直径所对是圆周角是直角可得AP⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得BP=CP，最后利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果。
（1）∵OB=OP
∴∠B=∠OPB
∵
∴∠B=∠C
∴∠C=∠OPB
∴OP∥AC
∴∠OPD=∠CDP=90°
∵OP是半径
∴
是⊙O的切线；
(2)连接AP
∵AB是直径
∴AP⊥BC
∵
∴BP=CP，∠B=∠C
∵∠CAB=120°
∴∠B=∠C=30°
∴在Rt△ABP中，
在Rt△ABP中，
∴
.
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：
已知：如图，直线l和直线l外一点A
求作：直线AP，使得AP∥l
作法：如图
①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．
②连接AC，AB，延长BA到点D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB （填推理的依据）
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
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【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周长．
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【题目】已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
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【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜
AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．
（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝_____°；
＝_____；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．
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