Question

如图，点M是边长为4cm的正方形纸片ABCD边AD上的一点，点E、F分别在边AB、CD上，ME⊥MF，连接EF．
（1）若AM=BE，
①求证：△AEM≌△DMF；
②求梯形AEFD的面积．
（2）若ME=EB，连接BM、BF，求∠MBF的度数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）①由正方形的性质、等角的余角相等得到全等三角形的三个条件，利用SAS证得结论；
②由①中全等三角形的对应边相等推知AM=DF．结合已知条件易得DF=BE，所以根据梯形面积公式进行解答；
（2）作BG⊥MF交MF于点G，分别证得△ABM≌△GBM，△BGF≌△BCF，得出∠ABM=∠MBG，∠GBF=∠CBF，进一步推出∠MBF的度数．

解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵AM=BE，
∴AE=DM，
∵ME⊥MF，
∴∠AME+∠DMF=∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠EMF，
在△AEM和△DMF中，

∠AEM=∠DMF AE=DM ∠A=∠D

，
∴△AEM≌△DMF（ASA）；

②由①知△AEM≌△DMF，则AM=DF．
∵AM=BE，
∴DF=BE，
∴S_梯形AEFD=

1

2

（AE+DF）•AD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×4=8（cm²）；

（2）如图，

作BG⊥MF交MF于点G，ME⊥MF
∴∠A=∠BGM=∠EMF=90°，
∵ME=EB，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠AMB=90°-∠ABM，∠BMG=90°-∠EMB，
∴∠AMB=∠BMG，
在△AMB和△BMG中，

∠A=∠BGM ∠AMB=∠BMG BM=BM

，
∴△AMB≌△BMG（AAS），
∴BA=BG，∠ABM=∠MBG，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，

BG=BC BF=BF

，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴∠GBF=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABM+∠MBG+∠GBF+∠CBF=2（∠MBG+∠GBF）=2∠MBF=90°，
∴∠MBF=45°．

点评：此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，以及等量代换等知识与方法；注意正确作出辅助线是解决问题的根本．