Question

19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与y轴交于点A（0，3），且经过点（-5，-2），点B与点A关于对称轴对称，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连结OB．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，把△AOB以每秒1个单位的速度向左平移，得到△PDE，PE交OB于点F，PD交BC于点M，设向左平移运动的时间为t（s）．设平移过程中与△OBC重叠部分的面积为S，试探求S与t的函数关系式，并求当t为何值时，S最大？
（3）如图3，在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使△OCE为等腰三角形？若存在，写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点（0，3）和（-5，-2）代入即可求出b、c的值，进而得解，再由点A与点B对称可以求出点B的纵坐标为3，进而得解；
（2）根据平移的性质，以及垂直等条件，可以判断四边形EPCB是矩形，△BEF≌△PCM，进而可以用含有t的式子表示出四边形BFPM的面积，利用配方法可以得解；
（3）从OE=OC，EC=OC，OE=EC三个方面进行解答，即可得到本题的答案．

解答 解：（1）将点（0，3）和（5，-2）代入y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-25-5b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：b=-4，c=3，
∴y=-x²-4x+3，

（2）∵点B与点A关于对称轴对称，
∴B（-4，3）；
由平移的性质可知，BO∥BD，OA∥PE，
∵OA⊥x轴，BC⊥x轴，
∴EP⊥x轴，
又AB∥OC，
∴∠EPC=∠BCP=∠BEP=∠EBC=90°，
∴四边形EPCB是矩形，
∴BE=PC，
∠ABO=∠BOC，∠BOC=∠MPC，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CP}\\{∠BEP=∠BCP}\\{∠ABO=∠MPC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△PCM（ASA），
当△AOB向左平移运动的时间为t（s）时，
BE=4-t，EP=3，AE=t，
∴四边形EPCB的面积为：3（4-t），
设直线OB的解析式为y=kx，将点B（-4，3）代入得：
3=-4k，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x，
∴F（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴S_△BEF=S_△PCM=$\frac{1}{2}$（4-t）（3+$\frac{3}{4}$t），
四边形BFPM的面积为：
S=3（4-t）-（4-t）（3+$\frac{3}{4}$t）=-$\frac{3}{4}$（t-2）²+3，（0≤t≤4），
当t=2时，S有最大值，最大值是3；
（3）①当OE=EC时，AE=OP=$\frac{1}{2}$OC=2，此时E（-2，3）．
②当OE=OC=4时，AE²+OA²=OE²=OC²，即：t²+9=16，
解得：t=$\sqrt{7}$或t=-$\sqrt{7}$（舍）；此时E（-$\sqrt{7}$，3）．
③当EC=OC=4时，
BE²+BC²=EC²，即：（4-t）²+9=16，
解得：t=4+$\sqrt{7}$（舍）或t=4-$\sqrt{7}$，此时E（$\sqrt{7}$-4，3）．
∴E的坐标为（-2，3）、（-$\sqrt{7}$，3）、（$\sqrt{7}$-4，3）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，以及平移的性质，三角形全等、三角形面积的求法等知识点，是移动综合性很强的题目，有一定的难度，要注意认真总结．