Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作 DE⊥AB 交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有①②④（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①∠DCB=∠B；②CD=$\frac{1}{2}$AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；
由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=$\frac{1}{2}$AB正确；
易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；
由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键．