【题目】如图所示,将正方形折叠,使顶点与边上的一点重合(不与端点,重合),折痕交于点,交于点,边折叠后与边交于点,连接,连接.
(1)若,,求的长;
(2)求证:.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)由,可求∠AFB=60°.由折叠的性质求出∠2=30°,从而,由30°角的性质可求EF=2AE=20,由此得BE=EF=20,所以AB=30,由锐角的余弦函数求出BF的长;
(2)如图,过作于点,连接.先根据“AAS”证明,再根据“HL”证明,然后可证明结论正确.
(1)如图,
,
∴∠AFB=90°-30°=60°.
∵折叠后点落在点处,
,,
,EF=BF,
∠AFE=∠AFB-
∴EF=2AE=20,
AB=AE +BE=30,
sin∠AFB=
BF===
(2)如图,过作于点,连接.
在正方形中,折叠后点落在点处,
,,,
,.
又,
.
又,,
,
,.
又,
.
在与中,
,,
,
.
,
.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,过D作DE⊥BC于点E,点P是边BC上的一个动点,AP与CD相交于点Q.当AP+PD的值最小时,AQ与PQ之间的数量关系是( )
A.AQ= PQ B.AQ=3PQ C.AQ=PQ D.AQ=4PQ
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【题目】如图,点的坐标为,动点从点出发,沿轴以每秒个单位的速度向上移动,且过点的直线也随之移动,如果点关于的对称点落在坐标轴上,没点的移动时间为,那么的值可以是___.
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【题目】小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
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【题目】阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
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【题目】已知:正方形ABCD,∠EAF=45°.
(1)如图,当点E、F分别在边BC、CD上,连接EF,求证:EF=BE+DF;
童威同学是这样思考的,请你和他一起完成如下解答:证明:将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,所以△ADF≌△ABG.
(2)如图,点M、N分别在边AB、CD上,且BN=DM.当点E、F分别在BM、DN上,连接EF,探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图,当点E、F分别在对角线BD、边CD上.若FC=2,则BE的长为 .
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点,点F、G是边AC的三等分点,DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.
(1)求证:四边形FBGH是菱形;
(2)求证:四边形ABCH是正方形.
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