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    3．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．
    （1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
    （2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p和m有值；
    ②观察猜想：对①中的m值，直接写出能使四边形ABCD为矩形的点B坐标．
    （3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

    分析 （1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
    （2）①把点B（p，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；
    ②当m=2时，设B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），则x＞0，由OB=2，得出x2+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，进而得出答案；
    （3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．

    解答 解：（1）∵点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，
    ∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
    故答案为：平行四边形；

    （2）①∵点B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
    ∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
    ∴p=$\sqrt{3}$，
    ∴BO=2，
    又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
    ∴点B、D关于原点O成中心对称，
    ∴OB=OD=2，
    ∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0），
    ∴AO=BO=CO=DO=2，
    ∴m=2；

    ②当m=2时，设B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），则x＞0，由OB=2，
    得出x2+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，
    解方程得：x=±1或±$\sqrt{3}$（负数舍去），
    故能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个分别为：（1，$\sqrt{3}$）、（$\sqrt{3}$、1）；

    （3）四边形ABCD不能是菱形．
    法一：∵点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
    ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上．
    又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点．
    ∴对角线AC与BD不可能垂直．
    ∴四边形ABCD不能是菱形；

    法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
    因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
    所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上．
    所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
    所以四边形ABCD不可能为菱形．

    点评 本题主要考查了反比例函数综合、平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，正确把握矩形、菱形的性质是解题关键．

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