Question

【题目】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．

（1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值．

（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数．

Answer 1

【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．

【解析】

（1）直接利用a+2ab+b=(a+b) ,分别使每一项与公式对应即分3种情况求出n的值即可；

（2）根据题意，设正整数为x,则x+61=a,x-11=b,进而得出关于a,b的等式，再分别讨论求出答案即可．

（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，

∴若28＝a2，210＝b2，

则a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10

若28＝a2，210＝2ab，

所以b＝25，

则2n＝b2＝210，

解得：n＝10，

若210＝a2，28＝2ab，

所以b＝22，

则2n＝b2＝24，

解得：n＝4，

所以n＝4或n＝10；

（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数），

则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，

故（a+b）（a﹣b）＝72，

由于a+b与a﹣b同奇偶，

故或或者，

当时,

解得：，

∴x＝b2+11＝60；

当时，

解得：，

∴x＝b2+11＝300；

当时，

解得：，

∴x＝b2+11＝20．

所以所有符合的正整数是20、60或300．