Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0

（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当⊙O的半径为1时．

①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；

N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；

T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），

∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，

∴2x2﹣4x≤0，

x（x﹣2）≤0，

∴0≤x≤2．

当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；

当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；

∴0＜x＜2；

（2）

解：∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，

∴A（6，0），B（0，2），

∴=，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

设C（x，0）．

①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，

则CH≤CP≤2r=2，

所以AC≤2，

C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；

②当C在A点右侧时，

C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为8，

所以C点横坐标x≤10．

综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．

【解析】（1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；
（2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），则=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧.
此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有勾股定理，“反对称点”的定义与应用.