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    在矩形OABC中，OA=8，OC=6，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-
    1
    6
    x2+bx+c经过B，C两点．
    （1）求b，c的值；
    （2）如图1，若点M（x，y）是第一象限中抛物线y=-
    1
    6
    x2+bx+c上一点，连接AM，MC，设四边形OAMC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并回答：x为何值时S取得最大值？
    （3）如图2，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C时停止．问：能否在抛物线y=-
    1
    6
    x2+bx+c上找到点D，使得以P，D，C为顶点的三角形是等腰直角三角形？如果能，请求出D点坐标；如果不能，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）由矩形的性质得B（8，6），C（0，6），代入y=-
    1
    6
    x2+bx+c中，列方程组求b、c的值；
    （2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，将四边形OAMC的面积分为直角梯形和三角形的面积求解，根据二次函数的性质求S的最大值；
    （3）能．分为P在AB上，P在CD上，两种情况，以CP为等腰直角三角形的直角边或斜边，根据等腰直角三角形的性质，求满足条件的D点坐标．
    解答：精英家教网解：（1）依题意，得B（8，6），C（0，6），
    代入y=-
    1
    6
    x2+bx+c中，得
    -
    64
    6
    +8b+c=6
    c=6
    ，
    解得b=
    4
    3
    ，c=6；（4分）

    （2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，由（1）可知M（x，-
    1
    6
    x2+
    4
    3
    x+6），
    ∴s=S梯形CMNO+S△AMN=
    1
    2
    （6-
    1
    6
    x2+
    4
    3
    x+6）•x+
    1
    2
    （-
    1
    6
    x2+
    4
    3
    x+6）•（8-x）=-
    2
    3
    x2+
    25
    3
    x+12，（3分）
    当x=
    25
    4
    时s取得最大值．（1分）

    （3）如图，又△CPD为等腰直角三角形，
    当P点在AB上时，若CP为斜边，
    则D1（6，8），若CP为直角边，则D2 （-4，-2），
    当P点在BC上时，若CP为直角边或斜边时，D3 （2，8）．
    即D1（6，8）或D2 （-4，-2）或D3 （2，8）．
    点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，用解析式表示M点纵坐标，利用点的坐标表示图形的面积，形数结合求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网把矩形纸片OABC放人直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．
    （1）将纸片OAB C折叠，使点A与C重合，用直尺和圆规在原图上作出折叠后的图形，并在图中标明折叠后点B的对应点B’（不写作法，保留作图痕迹）；
    （2）在矩形OABC中，连接AC，且AC=2
    		5
    ，tan∠OAC=
    1
    2
    ，求A、C两点的坐标；并求（1）中折痕的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，AB∥x轴．函数y=
    1x
    (x＞0)    的图象分别交AB、BC边于P、Q两点，且P是精英家教网AB的中点，设点P的横坐标为a．
    （1）用含a的代数式表示点Q的坐标．
    （2）试说明点Q是BC的中点．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
    （1）求AD的长及抛物线的解析式；
    （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
    （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
    ①求S关于m的函数表达式；
    ②当S最大时，在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•本溪）如图，在矩形OABC中，AB=2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数y=
    k
    x
    （k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，则k的值是（　　）

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