Question

（2013•河北一模）（1）探究新知：
①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．则S_△ABM

=

S_△ABN（填“＜”，“=”，“＞”）．
②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图3，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB边上的高相等，则两个三角形是同底等高的三角形，所以它们的面积相等；
②分别过D、E作AB的垂线，设垂足为H、K；通过证△DAH≌△EBK，来得到DH=KE；则所求的两个三角形是同底等高的三角形，由此得证；
（2）根据A、C的坐标，即可求得抛物线的解析式，进而可求出A、D的解析式；用待定系数法可确定直线AD的解析式；假设存在符合条件的E点，过C作CD⊥x轴于D，交直线AD于H；过E作EF⊥x轴于F，交直线AD于P；根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析式，易求得H点的坐标，即可得到CH的长；设出E点横坐标，根据直线AD和抛物线的解析式，可表示出P、E的纵坐标，即可得到PE的长；根据（1）题得到的结论，当PE=CH时，所求的两个三角形面积相等，由此可列出关于E点横坐标的方程，从而求出E点的坐标．（需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方，这两种情况下PE的表达式会有所不同，要分类讨论）

解答：解：（1）①如图①，分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD；
∴ME=NF；
∵S_△ABM=

1

2

ABAB•ME，S_△ABN=

1

2

ABAB•NF，
∴S_△ABM=S_△ABN．
②相等．理由如下：如图②，分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
则∠DHA=∠EKB=90°．
∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK．
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK．∴DH=EK．  
∵CD∥AB∥EF，
∴S_△ABM=

1

2

AB•DH，S_△ABG=

1

2

AB•EK，
∴S_△ABM=S_△ABG．

（2）答：存在．  
因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），所以，可设抛物线的表达式为y=a（x-1）²+4．
又因为抛物线经过点A（3，0），将其坐标代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1．
∴该抛物线的表达式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3．  
∴D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为y=kx+3，代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1．
∴直线AD的表达式为y=-x+3．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为-1+3=2．
∴CH=CG-HG=4-2=2．  
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m²+2m+3．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
①若E点在直线AD的上方，
则PF=3-m，EF=-m²+2m+3．
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m．
∴-m²+3m=2．
解得m₁=2，m₂=1．
当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3．
∴E点坐标为（2，3）．   
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．  
②若E点在直线AD的下方，
则PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m．
∴m²-3m=2．解得m3=

3+ 17

2

，m4=

3- 17

2

．
当m=

3+ 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3+ 17

2

-2=-

1+ 17

2

；
当m=

3- 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3- 17

2

-2=

-1+ 17

2

．
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E₁（2，3）；E2(

3+ 17

2

，  -

1+ 17

2

)；E3(

3- 17

2

，  

-1+ 17

2

)．

点评：此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求高，难度较大．