Question

【题目】如图，菱形ABCD中，AB＝20，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．

（1）求证：AE＝CE；

（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝8，求△PEC的面积；

（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请求出△PEC是等腰三角形时BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）20或10+10

【解析】

（1）由SAS证得△ABE≌△CBE，即可得出结论；

（2）连接AC，交BD于O，求出OA＝4，OB＝8，则AC＝8，BD＝16，S菱形ABCD＝320，S△ABC＝160， ，则S△ABP=S△ABC=64，易证∠ABE=∠PBE，得出，则S△BPE=S△ABP=，由，得出S△PEC= S△BPE即可得出结果；

（3）①由（1）得△ABE≌△CBE，则∠BAE＝∠BCE，当∠BAE＝90°时，得△PEC是等腰直角三角形，过点E作∠FEC＝45°交BC于F，则△FCE为等腰直角三角形，得出CE＝CP＝CF，EF＝CF，证明∠BEF＝∠EBC，得出EF＝BF，则CF+CF＝BC＝20，求出CF＝20（﹣1），即可得出结果；

②由（1）得△ABE≌△CBE，则∠AEB＝∠CEB，当∠BAE＝105°时，∠AEB＝52.5°，得出∠AEC＝105°，∠CEP＝75°，证明∠ECP＝∠CEP，得出△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，则△ABN是等腰直角三角形，得出AN＝BN＝AB＝10，由tan30°＝ ，求出PN＝10 ，即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE；

（2）解：连接AC，交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，OB=OD，OA=OC，AB=BC=20，

∵sin∠ABD= ，
∴OA=4，
∴AC=2OA=2×4=8，
BD=2OB=2×8=16，
∴S菱形ABCD=ACBD=×8×16=320，
∴S△ABC=S菱形ABCD=×320=160，
∵BP=8，
∴CP=BC-BP=20-8=12，
∵，
∴S△ABP=S△ABC=×160=64，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠PBE，
∴点E到边AB、BP的距离相等，
∴，
∴S△BPE=S△ABP=×64=，
∵，
∴S△PEC=S△BPE=×=；
（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，

当∠BAE=90°时，则∠BCE=90°，
∴∠ECP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=22.5°，∠CPE=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE=CP，∠BEC=90°-22.5°=67.5°，
过点E作∠FEC=45°交BC于F，如图2所示：
则△FCE为等腰直角三角形，
∴CE=CP=CF，EF=CF，∠BEF=∠BEC-∠FEC=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BEF=∠EBC，
∴EF=BF，
∴CF+CF=BC=20，
∴CF==20（-1），
∴BP=BC+CP=BC+CF=20+20（-1）=20；
②由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
当∠BAE=105°时，∠AEB=180°-105°-22.5°=52.5°，
∴∠AEC=2∠AEB=105°，
∴∠CEP=180°-105°=75°，
∵∠APB=180°-105°-45°=30°，
∴∠ECP=180°-75°-30°=75°，

∴∠ECP=∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：
则△ABN是等腰直角三角形，
∴AN=BN= AB=10，
∵∠APB=30°，
∴tan30°=，即，
∴PN=10，
∴BP=BN+PN=10+10；
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为20或10+10 ．