Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+2ax+b²（a＞0，b＞0）的顶点为D，对称轴与x轴相交于点G，a：b=2：$\sqrt{3}$，抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x₁，x₂，且x₁-2x₂=5．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）抛物线y=x²+2ax+b²与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接CD，CB，求∠OCB+∠OCD的度数．
（3）点E在对称轴上，点F在抛物线上，以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标．
（4）点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（2，4），以点G为圆心，2为半径的圆上有一动点H，直接写出HM+2HN的最小值．

Answer 1

分析 （1）设a=2k，b=$\sqrt{3}$k，则抛物线的解析式为y=x²+4kx+3k²，令y=0，得x²+4kx+3k²=0，解得x=-3k或-k，再列出方程求出k即可解决问题．
（2）如图1中，延长DB交OC于H．首先证明△BHC∽△CHD，推出∠HCB=∠CDH，由OB=OH，∠BOH=90°，推出∠BHO=45°，推出∠BHO=∠CDH+∠DCH=45°，由此即可解决问题．
（3）如图2中，分两种情形①当AB为平行四边形的对角线时，易知点F与D重合，F₁（-2，-1）．②当AB为平行四边形的边时，分别求解即可．
（4）如图3中，取点K（-1，0）．连接HG、HK．由△HGK∽△MGH，推出$\frac{GH}{MH}$=$\frac{HG}{MG}$=$\frac{1}{2}$，推出GH=$\frac{1}{2}$HM，因为HM+2HN=2（$\frac{1}{2}$HM+HN）=2（HK+HN），所以欲求HM+2HN的最小值，只要求出HK+HN的最小值即可，由此即可解决问题．

解答 解：（1）设a=2k，b=$\sqrt{3}$k，则抛物线的解析式为y=x²+4kx+3k²，
令y=0，得x²+4kx+3k²=0，解得x=-3k或-k，
当-3k-2（-k）=5时，k=-5不合题意舍弃，
当-k-2（-3k）=5时，k=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点D坐标（-2，-1）．

（2）如图1中，延长DB交OC于H．

∵D（-2，-1），B（-1，0），C（0，3）
∴直线BD的解析式为y=x+1，
∴H（0，1），
∴BH=$\sqrt{2}$，DH=2$\sqrt{2}$，CH=2，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CH}{DH}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{CH}{DH}$，
∵∠BHC=∠CHD，
∴△BHC∽△CHD，
∴∠HCB=∠CDH，
∵OB=OH，∠BOH=90°，
∴∠BHO=45°，
∵∠BHO=∠CDH+∠DCH=45°，
∴∠OCB+∠OCD=∠CDH+∠OCD=45°．

（3）如图2中，

①当AB为平行四边形的对角线时，易知点F与D重合，F₁（-2，-1）．
②当AB为平行四边形的边时，由AB=EF=2，可得F₂（-4，3），F₃（0，3）．
综上所述，当点F坐标为（-2，-1）或（-4，3）或（0，3）时，以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形．

（4）如图3中，取点K（-1，0）．连接HG、HK．

∵GH=2，GK=1，GM=4，
∴GH²=GK•GM，
∴$\frac{GH}{GK}$=$\frac{GM}{GH}$，∵∠HGK=∠MGH，
∴△HGK∽△MGH，
∴$\frac{GH}{MH}$=$\frac{HG}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$HM，
∴HM+2HN=2（$\frac{1}{2}$HM+HN）=2（HK+HN），
∴欲求HM+2HN的最小值，只要求出HK+HN的最小值即可，
∵HK+HN≥NK，
∴HK+HN的最小值为NK=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴HM+2HN的最小值为10．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、最小值问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形，学会用转化的思想思考问题，把最小值问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考压轴题．