模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题 .大致内容如下:古希腊一位将军.每天都要巡查河岸侧的两个军营A.B.他总是先去A营.再到河边饮马.之后再去B营.如图①.他时常想.怎么走才能使每天的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②.作B关于直线l的对称点B′.连接AB′与直线l交于点C.点C就是所求的位置．请你在下列� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．
∵直线L是点B，B′的对称轴，点C，C′在L上．
∴CB=CB'，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′．
∴AC+CB＜AC′+C′B′．
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形 ABCD 的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是$\sqrt{5}$．

如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是$\widehat{AD}$的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2$\sqrt{2}$．
如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点．求PC+PD取得最小值时P点坐标．

分析（1）根据对称轴是对称点连线的垂直平分线，依据垂直平分线的性质求解；
（2）图④，当PB+PE最小时，等于线段ED的长，利用勾股定理求得；
图⑤，先作B关于CD的对称点E，连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，即可求出答案；
图⑥：设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P，则PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．连接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，即可解答；

解答解：（1）如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在直线l上．
∴CB=CB′，C′B=C′B′
∴AC+CB=AC+CB′=AB′．
故答案是：CB′，C′B′，AB′；
（2）图④EF+FB的最小值就是线段DE的长，DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案是：DE，$\sqrt{5}$；

图⑤：（1）作B关于CD的对称点E，则E正好在圆周上，
连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，
则AP+BP最短，
∵∠AOD=60°，B为弧AD中点，
∴弧AB=弧BD，且弧AB的度数是30°，
∴∠AEB=15°（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半），
∵B关于CD的对称点是E，
∴弧BE的度数是60°，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE（都是半径），
∴△OAE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=2$\sqrt{2}$；

图⑥：（2）如图1，

∵点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=x-1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．

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