【题目】定义:点P在一次函数图象上,点Q在反比例函数图象上,若存在点P与点Q关于原点对称,我们称二次函数为一次函数与反比例函数的“新时代函数”,点P称为“幸福点”。
(1)判断与是否存在“新时代函数”,如果存在,请求出“幸福点”坐标,如果不存在,请说明理由;
(2)若反比例函数与一次函数有两个“幸福点”,和,且,求其“新时代函数”的解析式;
(3)若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的情况下,其“新时代函数”的最小值为3,求m的值。
【答案】(1)存在“新时代函数”,幸福点坐标为,;(2)或;(3)或 .
【解析】
(1)联立与得到关于x的一元二次方程,解方程可得,,根据 “新时代函数”定义,可得幸福点坐标为,;
(2)联立与得到关于x的一元二次方程,分解因式法解得,,代入中,可得,即可求得“新时代函数”解析式;
(3)一次函数和反比例函数的“新时代函数”为,其对称轴为,分,,和三种情况讨论即可.
双曲线是关于原点对称的,所以直线与双曲线的交点就是“幸福点”
(1)联立与得:,
解得:,,
存在“新时代函数”,幸福点坐标为,;
(2)联立与得:
,
,,
,
,
∴“新时代函数”的解析式:或;
(3)一次函数和反比例函数的“新时代函数”为,此二次函数图象开口向上,对称轴:,
当时,最小值为,
①若,即,当,
解得:,;
②若,即,
当,
解得:;
③若,即,当时,,
解得: , (舍),
综上所述,或.
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【题目】阅读理解题
定义:如果四边形的某条对角线平分一组角,那么把这条对角线叫“美妙线”,该四边形叫做“美妙四边形”.
如图:在四边形ABCD中,对角线BC平分∠ACD和∠ABD,那么对角线BC叫“美妙线”,四边形ABCD就称为“美妙四边形”.
问题:(1)下列四边形中是“美妙四边形”的有_______个.
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
A.1 B. 2 C. 3 D.4
(2)四边形ABCD是“美妙四边形”,AB=3+,∠BAD=60°,∠ABC=90°,求四边形ABCD的面积.
(3)如图,若△ABC中,AB=3,BC=4,∠B=90°,将△ABC扩充成以AC为“美妙线”的“美妙四边形”ABCD,试求D到BC的距离.
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【题目】如图所示是反比例函数的图象的一支。根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数k的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任意取两点和。如果,那么和有怎样的大小关系?
(3)在函数的图象上任意取两点和,且,那么和的大小关系又如何?
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【题目】哈尔滨市某校成立了“航模”、“古诗词欣赏”、“音乐”、“书法”四个兴趣小组,为了解兴趣小组报名的情况,对本校参加报名的部分学生进行了抽查(参加报名的学生,每名学生必报且限报一个兴趣小组),学校根据调查的数据绘制了以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)此次共调查了______名学生,扇形统计图中“航模”部分的圆心角是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)现该校共有800名学生报名参加了这四个兴趣小组,请你估计其中有多少名学生选修“古诗词欣赏”.
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【题目】小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图①.图②是晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,B,D两点立于地面.经测量:AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OE=OF=34 cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条线段,且EF=32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于________cm时,连衣裙才不会拖落到地面上.
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【题目】如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,AB=8,F是OB的中点,连接DF并延长交⊙O于G,求弦DG的长.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,BG⊥AC交AC于点G,E为AB中点,EG的延长线交AD于点F,连接CF.
(1)若∠ABG=30°,证明AF=FD;
(2)如图2,若∠EFC=90°,连接BF,FM⊥FB交CD于点M.
①证明:DM=MC;
②求的值.
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