Question

10．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=90°，CD=$\frac{n}{2}$；
（2）试判断：旋转过程中$\frac{BD}{AE}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m=10，n=8，当α=∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m=6，n=4$\sqrt{2}$，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出DE∥AB，进而得出△CDE∽△CBA，得出比例式即可得出结论；
（2）先判断出△ACE∽△BCD即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出AB=6，AE=3$\sqrt{5}$，即可求出BD，
（4）先求出AB=2，分两种情况计算即可得出结论．

解答 解：（1）∵CE是半圆O的直径，
∴∠CDE=90°，
∵∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{AC}$，
∵AC=2CE，BC=n，
∴CD=$\frac{CE}{AC}$•CB=$\frac{n}{2}$，
故答案为90，$\frac{n}{2}$；

（2）∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{n}{m}$；

（3）在Rt△ABC中，
∵AC=10，BC=8，根据勾股定理得，AB=6，
在Rt△ABE中，BE=BC-CE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
由（2）知，△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BD}{3\sqrt{5}}=\frac{8}{10}$，
∴BD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$

（4）∵m=6，n=4$\sqrt{2}$，
∴CE=3，CD=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得，AB=2，
①当α=90°时，半圆O与AC相切，
在Rt△ABC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
②当α=90°+∠ACB时，∠BCE=90°时，半圆O与BC相切，
如图，过点E作EM⊥AB与AB的延长线于M，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCEM为矩形，
∴BM=EC=3，ME=4$\sqrt{2}$，
∴AM=5，
在Rt△AME中，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{57}$，
由（2）知，$\frac{BD}{AE}$=$\frac{n}{m}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$AE=$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．
即：BD=2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，解（1）的关键是判断出△CDE∽△CBA，解（2）的关键是判断出△ACE∽△BCD解（3）的关键是求出AE=3$\sqrt{5}$，解（4）的关键是分类讨论，是一道中等难度的中考常考题．