【题目】已知抛物线y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3(k为常数)的顶点纵坐标为4.
(1)求k的值;
(2)设抛物线与直线y=﹣(x﹣3)(m≠0)两交点的横坐标为x1,x2,n=x1+x2﹣2,若A(1,a),B(b,)两点在动点M(m,n)所形成的曲线上,求直线AB的解析式;
(3)将(2)中的直线AB绕点(3,0)顺时针旋转45°,与抛物线x轴上方的部分相交于点C,请直接写出点C的坐标.
【答案】(1)1;(2);(3)(2,3).
【解析】
(1)利用配方法即可解决问题;
(2)由题意,方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1,x2,整理得,,推出x1+x2=+2,由n=x1+x2﹣2,推出n=+2-2=,即动点M(m,n)所形成的曲线为y=,由A(1,a),B(b,)两点在该曲线上,推出A(1,1),B(2,),再利用待定系数法即可解决问题;
(3)由直线AB的解析式为y=﹣x+,A(1,1),推出点D(3,0)在直线AB上,取点E(2,3),则AE=AD=,ED=,推出AE2+AD2=ED2,推出∠EAD=90°,由AE=AD,推出∠ADE=45°,可得直线ED的解析式为y=﹣3x+9,构建方程组即可求出点C坐标.
(1)y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3=﹣(x﹣k)2+k+3,
∵顶点纵坐标为4,
∴k+3=4,
∴k=1;
(2)∵k=1,
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3,
由题意,方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1,x2,
整理得,,
∴x1+x2=+2,
∵n=x1+x2﹣2,
∴n=+2-2=,
即动点M(m,n)所形成的曲线为y=,
∵A(1,a),B(b,)两点在该曲线上,
∴A(1,1),B(2,),
设直线AB解析式为y=k'x+b',把A(1,1),B(2,)代入得,,
解得,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+;
(3)如图,
∵直线AB的解析式为y=﹣x+,A(1,1),
∴点D(3,0)在直线AB上,
取点E(2,3),则AE=AD=,ED=,
∴AE2+AD2=ED2,
∴∠EAD=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE=45°,
∵设直线DE解析式为y=k″x+b″,把D(3,0),E(2,3)代入得,,
解得,
∴直线ED的解析式为y=﹣3x+9,
由,解得或,
∵D(3,0),
∴C(2,3).
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.
(3)如图2,点E的坐标为(0,),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】电影公司随机收集了2000部电影的有关数据,经分类整理得到如表:
电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
好评率 |
注:好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
如果电影公司从收集的电影中随机选取1部,那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率是______;
电影公司为了增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加,哪类电影的好评率减少,可使改变投资策略后总的好评率达到最大?
答:______.
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【题目】在将式子(m>0)化简时,
小明的方法是:===;
小亮的方法是: ;
小丽的方法是:.
则下列说法正确的是( )
A. 小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B. 小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C. 小明、小亮、小丽的方法都正确
D. 小明、小丽、小亮的方法都不正确
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【题目】如图,抛物线与轴于点、(点在点的左侧),与轴交于点.将抛物线绕点旋转,得到新的抛物线,它的顶点为,与轴的另一个交点为.若四边形为矩形,则,应满足的关系式为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在中,,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)。则四边形PABQ的面积y()与运动时间x(s)之间的函数图象为( )
A. B.
C. D.
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【题目】在2016年泉州市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是( )
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
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【题目】有三张正面分别标有数字,2,4的不透明卡片,它们除数字外都相同;现将它们背面朝上,洗匀后,从三张卡片中随机地抽出一张,记住数字;
若把抽出的卡片放回,洗匀后,再从三张卡片中随机抽出一张,记住数字试用列表或树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字为一正数、一负数的概率.
若不把抽出的卡片放回,再从剩余两张卡片中随机抽出一张,直接写出两次抽取卡片上的数字为一正数、一负数的概率.
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