Question

8．如图，直线m为y=x+3，且直线a与x轴交于点C，直线b经过A、B两点，两直线相交于点D．
（1）求直线b的表达式．
（2）求四边形AOED的面积．
（3）直线b上存在异于点D的另一个点P，使得△ACP与△ACD的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线b的解析式；
（2）先解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-2x+12}\end{array}\right.$得D（3，6），则求出C和E点坐标，然后根据三角形面积公式，利用四边形AOED的面积=S_△DAC-S_△OEC进行计算即可；
（3）设P（t，-2t+12），根据三角形面积公式得$\frac{1}{2}$×（6+3）×|-2t+12|=$\frac{1}{2}$×（6+3）×6，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）设直线b的解析式为y=kx+n，
把A（6，0），B（0，12）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+n=0}\\{n=12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=12}\end{array}\right.$，
所以直线b的解析式为y=-2x+12；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-2x+12}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=6}\end{array}\right.$，则D（3，6），
当x=0时，y=x+3=3，则E（0，3），
当y=0时，x+3=0，则C（-3，0），
所以四边形AOED的面积=S_△DAC-S_△OEC=$\frac{1}{2}$×（6+3）×6-$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{45}{2}$；
（3）设P（t，-2t+12），
∵△ACP与△ACD的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$×（6+3）×|-2t+12|=$\frac{1}{2}$×（6+3）×6，
解得t=3（舍去）或t=9，
∴点P的坐标为（9，-6）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．