Question

1．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（　　）

• A． $\sqrt{2}$$+\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+\sqrt{6}$

Answer 1

分析 解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH=HE′即可解决问题．
解法二：首先证明CG′+CE′=AC，作G′M⊥AD于M．解直角三角形求出DM，AM，AD即可；

解答 解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IG′R=90°，
∴∠DG′I=∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中，
$\left\{\begin{array}{l}{G′D=G′F}\\{∠DG′I=∠RG′F′}\\{G′I=G′R}\end{array}\right.$，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，
∴点F′在线段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，
∴E′H=$\frac{1}{2}$E′F′=1，F′H=$\sqrt{3}$，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′=E′H，RG′=RC=F′H，
∴CH=RF′=E′H，
∴CE′=$\sqrt{2}$，
∵RG′=HF′=$\sqrt{3}$，
∴CG′=$\sqrt{2}$RG′=$\sqrt{6}$，
∴CE′+CG′=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
故选A．
解法二：作G′M⊥AD于M．
易证△DAG'≌△DCE'，
∴AG'=CE'，
∴CG′+CE′=AC，
在Rt△DMG′中，∵DG′=2，∠MDG′=30°，
∴MG′=1，DM=$\sqrt{3}$，
∵∠MAG′=45°，∠AMG′=90°，
∴∠MAG′=∠MG′A=45°，
∴AM=MG′=1，
∴AD=1+$\sqrt{3}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AD，
∴AC=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
故选A．

点评 本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．