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如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,AD=BD,∠ADB=∠ACB=90°,AE=2BC.
(1)求证:BC=CD;
(2)求证:AC平分∠BAD.
考点:全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线
专题:证明题
分析:(1)分别延长AD和BC,使延长线交于点F,证△AED≌△BFD,推出AE=BF,求出BC=CF,即可得出答案;
(2)证出△BCA≌△FCA,推出∠3=∠5即可.
解答:证明:(1)分别延长AD和BC,使延长线交于点F,
∵在△BCE中,∠BCE=90°,
∴∠2+∠4=90°,
∵在△ADB中,∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°
又∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
在△AED和△BFD中
∠ADE=∠BDF=90°
∠3=∠4
AD=BD

∴△AED≌△BFD(AAS),
∴AE=BF,
又∵AE=2BC,
∴BF=2BC,
∴BC=CF,即点C为BF的中点
∴DC是直△BDF斜边BF上的中线,
∴BC=CD.

(2)在△BCA和△FCA中,
AC=AC
∠ACB=∠ACF=90°
CB=CF

∴△BCA≌△FCA(SAS),
∴∠3=∠5,
即AC平分∠BAD.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
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+
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1
2
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