Question

17．已知抛物线y=ax²+bx-4与直线y=x+1交于A（-1，0），B（5，6）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上在A，B间一个动点（不含端点），记△ABP的面积为S，点P的横坐标为t．
①求S关于t的函数关系式；当t为何值时S有最大值；
②当0≤t≤3时，求满足S为整数的点P的个数．
（3）Q为抛物线上一点，以Q为圆心的圆与两坐标轴都相切，请你直接写出Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先利用三角形的面积公式得出S=-3（t-2）²+27（-1＜t＜5），①直接判断出面积最大值，②由抛物线解析式得出要S是整数，t也是整数，进而得出结论；
（3）设出点Q坐标，由Q为圆心的圆与两坐标轴都相切，即可得出点Q的纵横坐标的绝对值相等即可求出点Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与直线y=x+1交于A（-1，0），B（5，6）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{25a+5b-4=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4；
（2）如图，过点P作PQ∥y轴交AB于Q，
∵点P的横坐标为t．
∴P（t，t²-3t-4），
∵点Q在直线y=x+1上，
∴Q（t，t+1），
∵点P为抛物线上在A，B间一个动点，
∴PQ=t+1-（t²-3t-4）=-t²+4t+5，
∵A（-1，0），B（5，6），
∴△ABP的面积为S=$\frac{1}{2}$PQ×|x_A-x_B|=3（-t²+4t+5）=-3t²+12t+15=-3（t-2）²+27（-1＜t＜5），
①当t=2时，S_最大=27；
②∵S为整数，
∴t为整数，
当t=0时，S=15，
当t=1时，S=24，
当t=2时，S=27，
当t=3时，S=24，共四个，
即：满足条件的点P有4个；
（3）∵Q为抛物线y=x²-3x-4上一点，
∴设Q（m，m²-3m-4），
∵以Q为圆心的圆与两坐标轴都相切，
∴|m|=|m²-3m-4|，
∴m=2±2$\sqrt{2}$，或m=1±$\sqrt{5}$，
∴Q（2+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）或（1+$\sqrt{5}$，-1-$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-1+$\sqrt{5}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，函数极值的确定，圆的切线的判定，解本题的关键是求出S=-3（t-2）²+27（-1＜t＜5），是一道比较简单的中考常考题．