分析 (1)用待定系数法直接求出抛物线解析式;
(2)先利用三角形的面积公式得出S=-3(t-2)2+27(-1<t<5),①直接判断出面积最大值,②由抛物线解析式得出要S是整数,t也是整数,进而得出结论;
(3)设出点Q坐标,由Q为圆心的圆与两坐标轴都相切,即可得出点Q的纵横坐标的绝对值相等即可求出点Q的坐标.
解答 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4与直线y=x+1交于A(-1,0),B(5,6)两点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{25a+5b-4=6}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4;
(2)如图,过点P作PQ∥y轴交AB于Q,
∵点P的横坐标为t.
∴P(t,t2-3t-4),
∵点Q在直线y=x+1上,
∴Q(t,t+1),
∵点P为抛物线上在A,B间一个动点,
∴PQ=t+1-(t2-3t-4)=-t2+4t+5,
∵A(-1,0),B(5,6),
∴△ABP的面积为S=$\frac{1}{2}$PQ×|xA-xB|=3(-t2+4t+5)=-3t2+12t+15=-3(t-2)2+27(-1<t<5),
①当t=2时,S最大=27;
②∵S为整数,
∴t为整数,
当t=0时,S=15,
当t=1时,S=24,
当t=2时,S=27,
当t=3时,S=24,共四个,
即:满足条件的点P有4个;
(3)∵Q为抛物线y=x2-3x-4上一点,
∴设Q(m,m2-3m-4),
∵以Q为圆心的圆与两坐标轴都相切,
∴|m|=|m2-3m-4|,
∴m=2±2$\sqrt{2}$,或m=1±$\sqrt{5}$,
∴Q(2+2$\sqrt{2}$,2+2$\sqrt{2}$)或(2-2$\sqrt{2}$,2-2$\sqrt{2}$)或(1+$\sqrt{5}$,-1-$\sqrt{5}$)或(1-$\sqrt{5}$,-1+$\sqrt{5}$).
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,三角形的面积的计算方法,函数极值的确定,圆的切线的判定,解本题的关键是求出S=-3(t-2)2+27(-1<t<5),是一道比较简单的中考常考题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{m}{n}$元 | B. | $\frac{n}{m}$元 | C. | mn元 | D. | (n-m)元 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 50 | B. | 53 | C. | 55 | D. | 60 |
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