Question

18．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2016次操作后右下角的小正方形面积是（　　）

• A． $\frac{1}{2004}$
• B． ${（\frac{1}{2}）^{2016}}$
• C． ${（\frac{1}{4}）^{2016}}$
• D． $1-{（\frac{1}{4}）^{2016}}$

Answer 1

分析 先计算出边长为1的正方形的面积为1²=1，再观察图形通过计算得第1次操作后右下角的小正方形面积=$\frac{1}{4}$，第2次操作后右下角的小正方形面积=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，第3次操作后右下角的小正方形面积=（$\frac{1}{4}$）³，…，则第n次操作后右下角的小正方形面积=（$\frac{1}{4}$）ⁿ，然后把n=2016代入即可．

解答 解：边长为1的正方形的面积为1²=1，
∵第1次操作后右下角的小正方形面积=$\frac{1}{4}$，
第2次操作后右下角的小正方形面积=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，
第3次操作后右下角的小正方形面积=（$\frac{1}{4}$）³，
…
∴第2016次操作后右下角的小正方形面积=（$\frac{1}{4}$）²⁰¹⁶．
故选C．

点评 本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．