Question

10．已知a、b为实数，那么代数式a²+ab+b²-a-2b+3的最小值为2．

Answer 1

分析 观察a²+ab+b²-a-2b+3式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的和的形式．一般常数项即为所求最小值．

解答 解：a²+ab+b²-a-2b+3=a²+（b-1）a+b²-2b+3
=a²+（b-1）a+$\frac{（b-1）^{2}}{4}$+b²-2b-$\frac{（b-1）^{2}}{4}$+3，
=[a+$\frac{b-1}{2}$]²+$\frac{3}{4}$b²-$\frac{3}{2}$b+$\frac{11}{4}$，
=[a+$\frac{b-1}{2}$]²+$\frac{3}{4}$（b-1）²+2≥2，
当a+$\frac{b-1}{2}$=0，b-1=0，
即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为2．
故答案是：2．

点评 本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将所有含有a、b的式子都转化为多个非负数与常数项的和形式．