Question

3．等腰△ABC，AB=BC，点B，E在直线PQ上，连接AE，∠ABC=∠AEP=45°，CD∥AE，交直线PQ于点D，EM⊥PQ，交直线CD于点M．
（1）当点E在线段BD上时，如图①，易证：AE=BE+EM；
（2）当点E在线段DB延长线上时如图②：当点E在线段BD延长线上时如图③．猜想线段AE，BE，EM之间有怎样的数量关系？请写出图②③的猜想并给予证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．由△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，可得AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，再证明△ABH≌△BCF即可解决问题．
（2）结论：AE=EM-BE．如图2中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．证明方法类似（1）．
结论：AE=BE-EM．如图3中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：如图1中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，
∴∠ABH+∠CBF=180°-∠ABC-∠FBD=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=BE+EM．

（2）解：当点E在线段DB延长线上时，结论：AE=EM-BE．
理由：如图2中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，DE=EM，
∴∠ABH+∠CBF=180°-∠ABC-∠FBD=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=DE-BE=EM-BE．

当点E在线段BD延长线上时，结论：AE=BE-EM．
理由：如图3中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，DE=EM，
∵∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°，∠BCF+∠CBH=∠BDF=45°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=BE-DE=BE-EM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．