【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是△ABC的角平分线.以O为圆心,OC为半径作⊙O.
(1)求证:AB是⊙O的切线.
(2)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D,tanD=,求的值.
(3)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求AB的长.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【解析】试题分析:(1)过O作OF⊥AB于F,由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证;(2)连接CE,证明△ACE∽△ADC可得= tanD=;(3)先由勾股定理求得AE的长,再证明△B0F∽△BAC,得,设BO="y" ,BF=z,列二元一次方程组即可解决问题.
试题解析:(1)证明:作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线,∠ACB=90
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
(2)连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线,
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD=
(3)先在△ACO中,设AE=x,
由勾股定理得
(x+3)="(2x)" +3 ,解得x="2,"
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得,
设BO=y BF=z
即4z=9+3y,4y=12+3z
解得z=y=
∴AB=+4=
考点:圆的综合题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知:二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且A点坐标为(-6,0).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
【答案】(1)y=-x2-x+8(2)
【解析】试题分析:(1)求出一元二次方程的两根即可求出两点坐标,把B、C两点坐标代入二次函数的解析式就可解答;
(2)过点F作FG⊥AB,垂足为G,由EF∥AC,得△BEF∽△BAC,利用相似比求EF,利用sin∠FEG=sin∠CAB求FG,根据S=S△BCE-S△BFE,求S与m之间的函数关系式.
解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8
∴B(2,0)、C(0,8)
∴所求二次函数的表达式为y=-x2-x+8
(2)∵AB=8,OC=8,依题意,AE=m,则BE=8-m,
∵OA=6,OC=8, ∴AC=10.
∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.
∴=. 即=. ∴EF=.
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB=.∴=.
∴FG=·=8-m.
∴S=S△BCE-S△BFE
=
(0<m<8)
点睛:本题考查了一元二次方程的解法,待定系数法求函数关系系,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,割补法求图形的面积,熟练掌握待定系数法求二次函数关系式、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(-4,n),B(2,-4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出关于x的方程的解及不等式的解集.
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【题目】已知a是最大的负整数,b是﹣5的相反数,c=﹣|﹣3|,且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数.
(1)求a、b、c的值;
(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动,动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒3个单位长度,点Q的速度是每秒1个单位长度,求运动几秒后,点P可以追上点Q?
(3)在(2)的条件下,P、Q出发的同时,动点M从点C出发沿数轴正方向运动,速度为每秒6个单位长度,点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动,追上后点M再运动几秒,M到Q的距离等于M到P距离的两倍?
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【题目】如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.
(1)m= ;
(2)求点C的坐标;
(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,……,如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知,“峰1” 中峰顶的位置(C的位置)是有理数4,那么,“峰5”中C 的位置是有理数 ,2017应排在A、E中 的位置.其中两个填空依次为
A.24 , AB.﹣24, AC.25, ED.﹣25, E
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【题目】如图,直线m的表达式为y =﹣3x+3,且与x轴交于点B,直线n经过点A(4,0),且与直线m交于点C(t,﹣3)
(1)求直线n的表达式.
(2)求△ABC的面积.
(3)在直线n上存在异于点C的另一点P,使△ABP与△ABC的面积相等,请直接写出点P的坐标是 .
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【题目】如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.
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【题目】某学校设计了如图所示的雕塑,取名“阶梯”, 现在工厂师傅打算用油漆喷刷所有暴露面,经测量,已知每个小立方体的棱长为0.5米.
(1)请你画出从它的正面、左面、上面三个不同方向看到的平面图形.
(2)请你帮助工人师傅计算一下,需要喷刷油漆的总面积是多少?
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【题目】如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
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