Question

如图：正方形ABCD的边长是a，点M是AB的中点，CN=

1

4

CD，P是直线AC上的一点，则|PM-PN|的最大值=

 

．

Answer 1

分析：找出M关于直线AC的对称点M′，连接M′N并延长与直线AC交于点Q，若P运动到Q位置时，所求式子最大，此时最大值为M′N的长，理由为：当P在其他位置时，连接PM与PN，及PM′，根据线段垂直平分线定理得到PM=PM′，在三角形PM′N中，根据三角形的两边之差小于第三边可得M′N最大，由M为AB中点，根据对称性得到M为AD中点，进而表示出M′D的长，再由CN的长表示出DN的长，在直角三角形M′DN中，根据勾股定理即可表示出M′N的长，即为所求式子的最大值．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

作出M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长M′N与直线AC交于点Q，
当P运动到Q位置时，|PM-PN|=QM′-QN=M′N最大，理由为：
任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM=PM′，
在△PM′N中，PM-PN=PM′-PN＜M′N，故M′N最大；
由AC为线段MM′的垂直平分线，得到AM=AM′，
又正方形ABCD，得到∠BAD=∠D=90°，且AB=AD=DC=BC=a，
∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM=BM=

1

2

AB=

1

2

a，
则有AM′=AM=

1

2

a，且M′D=

1

2

a，
又CN=

1

4

a，则有DN=

3

4

a，
在Rt△M′DN中，
根据勾股定理得：M′N=

M′D2+DN2

=

13

4

a，
则|PM-PN|的最大值为

13

4

a．
故答案为：

13

4

a

点评：此题考查了轴对称-最短路线的问题，涉及的知识有对称性质，三角形的三边关系：两边之差小于第三边，正方形的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想．本题的难点为找出所求式子取得最大值时P点的位置，方法是借助图形作出M关于直线AC的对称点M′，延长M′N与直线AC交于点Q，当P运动到Q位置时，|PM-PN|最大，同时要求学生弄清所求式子取得最大的理论依据为三角形的两边之差小于第三边．