Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）．给出如下定义：若 ，则称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（1，2）的“伴随点”为点（5，0）．

（1）若点Q（﹣2，﹣4）是一次函数y＝kx+2图象上点P的“伴随点”，求k的值．

（2）已知点P（m，n）在抛物线C1：y＝上，设点P的“伴随点”Q（x，y）的运动轨迹为C2．

①直接写出C2对应的函数关系式．

②抛物线C1的顶点为A，与x轴的交点为B（非原点），试判断在x轴上是否存在点M，使得以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

③若点P的横坐标满足﹣2≤m≤a时，点Q的纵坐标y满足﹣3≤y≤1，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1);(2) ①y＝x2﹣3x+6;②见解析;③2≤a≤6.

【解析】

（1）根据伴随点定义可求k的值

（2）①根据伴随点的定义可求C2的解析式

②先求A，B坐标，以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则分三类讨论，根据平行四边形的性质可求M点坐标

③由x＝m+4可得 2≤x≤a+4，且抛物线顶点坐标为（6，﹣3），﹣3≤y≤1可得6≤a+4≤10，可求a的取值范围．

解（1）设P（x，kx+2）

根据题意得：

解得：

（2）①根据题意可得

∴

∴C2的解析式：，

②∵抛物线C1：

∴B（4，0），A（2，﹣1）

∵以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形

∴若BA为边，BM为边，则AB∥MQ，AQ∥BM

∴Q与A的纵坐标相同

∴

∴

解得：

∴或，

∵AQ＝BM，A（4，0）

∴或，

若AB为边，BM为对角线，

∴对角线AQ与BM互相平分且交点在x轴上

∴Q点纵坐标为1

∴

解得x1＝2，x2＝10

∴AQ中点横坐标为6或2，且AQ与BM互相平分

∴M（8，0）或（0，0）

若BM为边，AB为对角线，

∴AB的中点且AB与MQ互相平分

∴Q或

∵MQ的中点为，

∴M或，

∴综上所述M或，（0，0），（ 8，0）

，.

③∵x＝m+4，﹣2≤m≤a

∴2≤x≤4+a

∵C2的解析式：

∴顶点坐标为（6，﹣3）

∵﹣3≤y≤1

∴当y＝1时，x＝2或10

∴6≤4+a≤10

∴2≤a≤6.