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    已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
    （1）求弦AD的长；
    （2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
    （3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；
    （2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=1；
    当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于AD=2，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
    又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，则ON=-1；
    （3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到
    DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值．
    解答：解：（1）∵∠BAC=90°，点D是BC中点，BC=4，
    ∴AD=BC=2；

    （2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，
    当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，
    ∴OE⊥DM，
    又∵AD=AC，
    ∴△ADC为等边三角形，
    ∴∠CAD=60°，
    ∴∠DAO=30°，
    ∴∠DON=60°，
    在Rt△ADN中，DN=AD=，
    在Rt△ODN中，ON=DN=1，
    ∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
    当MD=ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，
    ∵AD=2，∠DAE=30°，
    ∴DH=，∠DEA=60°，DE=2，
    ∴△ODE为等边三角形，
    ∴OE=DE=2，OH=1，
    ∵∠M=∠DAE=30°，
    而MD=ME，
    ∴∠MDE=75°，
    ∴∠ADM=90°-75°=15°，
    ∴∠DNO=45°，
    ∴△NDH为等腰直角三角形，
    ∴NH=DH=，
    ∴ON=-1；
    综上所述，当ON等于1或-1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
    （3）当⊙O变动时DP-DQ的值不变，DP-DQ=2．理由如下：
    连AP、AQ，如图2，
    ∵∠C=∠CAD=60°，
    而DP⊥AB，
    ∴AC∥DP，
    ∴∠PDB=∠C=60°，
    又∵∠PAQ=∠PDB，
    ∴∠PAQ=60°，
    ∴∠CAQ=∠PAD，
    ∵AC=AD，∠AQC=∠P，
    ∴△AQC≌△APD，
    ∴DP=CQ，
    ∴DP-DQ=CQ-DQ=CD=2．
    点评：本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
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    		5
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