Question

已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A=36°．
（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．
（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由AB∥MN，直线MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE与∠CDF的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠F的度数．
（2）由题意可得∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+

1

2

∠ACN，∠CDF=

1

2

∠BDC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACD，则可得∠F=∠DCE-∠CDF=∠ACD+

1

2

∠ACN-

1

2

∠A-

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACN+∠ACD）-

1

2

∠A，继而求得答案．

解答：解：（1）∵AB∥MN，直线MN⊥PQ，
∴PQ⊥AB，
∴∠BDC=∠DCN=90°，
∵∠ACN=∠A=36°，CE平分∠ACN，
∴∠ACE=18°，∠ACD=90°-∠A=54°，
∴∠DCE=∠ACD+○ACE=72°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF=45°，
∴∠F=∠DCE-∠CDF=27°；

（2）不发生改变．
理由：∵CE是∠ACN的平分线，
∴∠ACE=

1

2

∠ACN，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+

1

2

∠ACN，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，
∴∠CDF=

1

2

∠BDC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACD，
∴∠F=∠DCE-∠CDF=∠ACD+

1

2

∠ACN-

1

2

∠A-

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACN+∠ACD）-

1

2

∠A=

1

2

×90°-

1

2

×36°=27°．

点评：此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．