Question

如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P₁M₁N₁N₂面积为S₁，四边形P₂M₂N₂N₃的面积为S₂，…，四边形P_nM_nN_nN_n+1的面积记为S_n，通过逐一计算S₁，S₂，…，可得S_n=（　　）

• A．

  3

  4

  3

  -

  1

  2n+1

  ?

  3

  4

• B．

  1

  2n+1

  ?

  3

  4

• C．

  n

  2n+1

  ?

  3

  4

• D．

  2n-1

  2n+1

  ?

  3

  4

Answer 1

分析：先求出一个小梯形的高和面积，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出四边形P_nM_nN_nN_n+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面积减上方的小三角形的面积即可．

解答：解：如图，根据题意，小梯形中，
过D作DE∥BC交AB于E，
∵上底、两腰长皆为1，下底长为2，
∴AE=2-1=1，
∴△AED是等边三角形，
∴高h=1×sin60°=

3

2

，
S_梯形=

1

2

×（1+2）×

3

2

=

3 3

4

，
设四边形P_nM_nN_nN_n+1的上方的小三角形的高为x，
根据小三角形与△AM_nN_n相似，AN_n=2n，
由相似三角形对应边上高的比等于相似比，可知

x

h-x

=

1

2n

，
解得x=

h

2n+1

=

1

2n+1

•

3

2

，
∴S_n=S_梯形-

1

2

×1×

1

2n+1

•

3

2

，
=

3

4

3

-

1

2n+1

•

3

4

；
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质．解答本题关键在于看出四边形P_nM_nN_nN_n+1的面积等于一个小梯形的面积减掉它上方的小三角形的面积，而小三角形的面积可以利用相似三角形的性质求出，此题也就解决了．