Question

如图，已知y₁=k₁x+k₁（k₁≠0）与反比例函数的图象交于点A、C，其中A点坐标（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y₁＜y₂？
（3）若一次函数y₁=k₁x+k₁与x轴交于B点，连接OA，求△AOB的面积：
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（1，1）代入反比例解析式得：1=，即k₂=1，
则反比例解析式为y₂=；
（2）由图象可得：当0＜x＜1时，y₁＜y₂；
（3）将A（1，1）代入一次函数解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=，
∴一次函数解析式为y₁=x+，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
则S_△AOB=×OB×y_A纵坐标=×1×1=；
（4）存在．
当OA为底边时，此时△AOP₁为等腰直角三角形，P₁（1，0）；
当OA为腰时，以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA==，
∴OP₃=OP₂=，
此时P₂（，0），P₃（-，0）；
以A为圆心AO为半径画弧，与x轴交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此时P₄（2，0），
综上，P的坐标为（1，0）或（，0）或（-，0）或（2，0）．
分析：（1）将A的坐标代入反比例解析式中求出k₂的值，即可确定出反比例解析式；
（2）由一次函数与反比例函数的交点A的横坐标，将x大于0分为两个范围，找出反比例函数在一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）将A的坐标代入一次函数解析式中，求出k₁的值，确定出一次函数解析式，令y=0求出x的值，确定出B的坐标，得到OB的长，三角形AOB的面积由OB与A纵坐标乘积的一半即可求出；
（4）存在．分AO为底边和AO为腰两种情况考虑：由A的坐标，利用勾股定理求出OA的长，利用等腰三角形的性质分别求出满足题意的P点坐标即可．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，灵活运用待定系数法是解本题的关键．