Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线上三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）已知了B、C的坐标可用待定系数法求出直线BC的解析式．
（3）由于三角形ABC和三角形PAB的面积相等，根据等底三角形的面积比等于高的比，可得出P点纵坐标的绝对值．可将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
（4）本题分三种情况，如下图：
①OQ=QB，此时Q在OB的垂直平分线上，因此Q点横坐标为B点横坐标的一半，然后可代入直线BC的解析式中求出Q点坐标．
②OQ=OB，此时可根据直线BC的解析式设出Q点坐标，然后用坐标系两点间距离公式表示出OQ的长，然后根据OB的长求出Q点坐标．
③OB=BQ，解法同②．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
已知抛物线过C（0，3），则有：
3=a（0+1）（0-4），a=-

3

4

∴抛物线的解析式为y=-

3

4

x²+

9

4

x+3

（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，
已知直线BC过B（4，0），则有：
4k+3=0，k=-

3

4

∴直线BC的函数解析式为y=-

3

4

x+3

（3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积
∵△ABC的底边AB上的高为3
设△PAB的高为h，则|h|=3，则点P的纵坐标为3或-3
∴当3=-

3

4

x²+

9

4

x+3时，
得x=0，x=3；
∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C点重合，故舍去．
当-3=-

3

4

x²+

9

4

x+3，
得x=

3+ 41

2

，x=

3- 41

2

∴点P的坐标为：P₁（3，3），P₂（

3+ 41

2

，-3），P₃（

3- 41

2

，-3）

（4）Q₁（2，

3

2

），Q₂（

36

5

，-

12

5

），Q₃（

4

5

，

12

5

），Q₄（-

28

25

，

96

25

）．

点评：本题考查了一次函数及二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．