Question

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．

Answer 1

分析：（1）作BG⊥OA于G，连接AC．利用等边三角形的性质可知：OG=1，BG=

3

，所以B（1，

3

）．根据直角三角形中的三角函数值可计算得OC=OAtan30°=

2 3

3

．所以C（0，

2 3

3

）．
（2）根据切线的性质求得OD=OCtan30°=

2

3

．即D(-

2

3

，0)，结合点C（0，

2 3

3

），利用待定系数法求得直线CD的函数解析式为y=

3

x+

2 3

3

．
（3）先求出四边形ABCD的周长6+

2 3

3

．设AE=t，△AEF的面积为S，根据题意用含t的代数式表示S，即可得到关于S，t的二次函数，S=

3

4

t（3+

3

3

-t），结合自变量t的取值范围

1+ 3

3

≤t≤2，可求得△AEF的最大面积为

7 3

12

+

3

8

．

解答：解：（1）∵A（2，0），∴OA=2．
作BG⊥OA于G，∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=

3

．∴B（1，

3

）．
连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴OC=OAtan30°=

2 3

3

．
∴C（0，

2 3

3

）．

（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，
又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=OCtan30°=

2

3

．
∴D(-

2

3

，0)．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则

b= 2 3 3 0=- 2 3 k+b

，解得

k= 3 b= 2 3 3

．
∴直线CD的函数解析式为y=

3

x+

2 3

3

．

（3）∵AB=OA=2，OD=

2

3

，CD=2OD=

4

3

，BC=OC=

2 3

3

，
∴四边形ABCD的周长6+

2 3

3

．
设AE=t，△AEF的面积为S，
则AF=3+

3

3

-t，S=

1

2

AF•AEsin60°=

3

4

t(3+

3

3

-t)．
∵S=

3

4

t(3+

3

3

-t)=

3

4

[-(t-

9+ 3

6

)2+

7

3

+

3

2

]．
∴当t=

9+ 3

6

时，Smax=

7 3

12

+

3

8

．
∵点E，F分别在线段AB，AD上，
∴

0≤t≤2 0≤3+ 3 3 -t≤2+ 2 3

，解得

1+ 3

3

≤t≤2．
∵t=

9+ 3

6

满足

1+ 3

3

≤t≤2，
∴△AEF的最大面积为

7 3

12

+

3

8

．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．