Question

如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、D是底边所在直线上的两点，联接AE、AD，若AD²=DC•DE．
求证：（1）△ADC∽△EDA；（2）

AE2

AD2

=

EB

CD

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由已知AD²=DC•DE变形得到比例式，再由一对公共角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得证；
（2）由（1）得出的三角形相似，得到对应角相等，再由等边对等角得到一对角相等，确定出三角形ABE与三角形DCA相似，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，以及三角形面积求法，变形即可得证．

解答：解：（1）∵AD²=DC•DE，
∴

AD

DC

=

DE

AD

，
∵∠D=∠D，
∴△ADC∽△EDA；
（2）∵△ADC∽△EDA，
∴∠DAC=∠E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABE∽△DCA，
∴

S△ABE

S△DCA

=（

AE

AD

）²=

AE2

AD2

，
过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∴

S△ABE

S△DCA

=

1 2 BE•AH

1 2 DC•AH

=

BE

DC

，
∴

AE2

AD2

=

EB

CD

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．