Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证： ；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1 ， 交BD于点F1 ， 过点F1作F1E⊥A1C1 ， 垂足为E，请猜想EF1 ， AB与 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，求BD的长

Answer 1

【答案】
（1）解：过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝ AC＋OF，
∴AB－OF＝ AC
（2）解：过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1 ，

则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1 ，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1 ， 而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝ A1C1
（3）解：由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12 ，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7 ．
【解析】（1）过F作FG⊥AB于G，根据已知条件可证△AOF≌△AGF，结合直角三角形的性质可求解；（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1 ， 根据已知条件可得四边形F1G1BH1是矩形，再证四边形F1G1BH1是正方形，则结论可证；（3）在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理可求解。