三角形中.顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图1.在△ABC中.已知:AB＝AC.且∠A＝36°．[小题1]在图1中.用尺规作AB的垂直平分线交AC于D.并连接BD(保留作图痕迹.不写作法),[小题2]△BCD是不是黄金三角形.如果是.请给出证明,如果不是.请说明理由,[小题3]设.试求k的值,[小题4]如图2.在△A1B1C1中.已知A1B1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．

【小题1】在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
【小题2】△BCD是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
【小题3】设，试求k的值；
【小题4】如图2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁＝108°，且A₁B₁＝AB，
请直接写出的值．

【小题1】如图所示

【小题2】△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
【小题3】设BC＝x，AC＝y，
　　由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
　　 ∴△BDC∽△ABC，
　　 ∴，即，
整理，得，
解得．/
因为x、y均为正数，所以．
【小题4】
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁＝AB，
∴AC＝CE＝A₁B₁＝A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE＝B₁C₁．
由（3）知，，
∴，，
∴．

解析

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