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9.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点B的坐标为(3,4),一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足OD=BE,点M是线段DE上的一个动点.
(1)求b的值;
(2)连结OM,若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;
(3)设点N是x轴上方平面内的一点,当四边形OMDN为菱形时,求点N的坐标.

分析 (1)利用矩形的性质,用b表示点E的坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)首先求出四边形OAED的面积,再根据条件求出△ODM的面积,即可解决问题;
(3)首先确定点M的坐标,因为四边形OMDN是菱形,可知M、N关于OC对称,即可推出点N的坐标;

解答 解:(1)y=-$\frac{2}{3}$x+b中,令x=0,解得y=b,则点D的坐标是(0,b),OD=b,
∵OD=BE,
∴BE=b,
则点E的坐标为(3,4-b),
把E点坐标代入y=-$\frac{2}{3}$x+b得4-b=-2+b,
解得b=3.

(2)∵S四边形OAED=$\frac{1}{2}$(OD+AE)•OA=$\frac{1}{2}$×(3+1)=6,
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,
∴S△ODM=1.5,
设点M的横坐标是a,则$\frac{1}{2}$•3a=1.5,解得a=1,
把x=a=1代入y=-$\frac{2}{3}$x+3得y=-$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$+3=$\frac{7}{3}$,
∴点M的坐标是(1,$\frac{7}{3}$).

(3)当四边形OMDN是菱形时,如图点M的纵坐标是$\frac{3}{2}$.

把y=$\frac{3}{2}$代入直线y=-$\frac{2}{3}$x+3,得-$\frac{2}{3}$x+3=$\frac{3}{2}$,解得x=$\frac{9}{4}$,
则点M的坐标是($\frac{9}{4}$,$\frac{3}{2}$),
∵四边形OMDN是菱形,
∴M、N关于OC对称,
∴点N的坐标是(-$\frac{9}{4}$,$\frac{3}{2}$).

点评 本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、四边形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用此时解决问题,属于中考压轴题.

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验证1:在镶嵌平面时,设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:90x+$\frac{(8-2)180}{8}$y=360,整理得:2x+3y=8,
我们可以找到方程的正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$.
结论1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.

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