Question

9．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，当四边形OMDN为菱形时，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题；
（3）首先确定点M的坐标，因为四边形OMDN是菱形，可知M、N关于OC对称，即可推出点N的坐标；

解答 解：（1）y=-$\frac{2}{3}$x+b中，令x=0，解得y=b，则点D的坐标是（0，b），OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，
则点E的坐标为（3，4-b），
把E点坐标代入y=-$\frac{2}{3}$x+b得4-b=-2+b，
解得b=3．

（2）∵S_{四边形OAED}=$\frac{1}{2}$（OD+AE）•OA=$\frac{1}{2}$×（3+1）=6，
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，
∴S_△ODM=1.5，
设点M的横坐标是a，则$\frac{1}{2}$•3a=1.5，解得a=1，
把x=a=1代入y=-$\frac{2}{3}$x+3得y=-$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$+3=$\frac{7}{3}$，
∴点M的坐标是（1，$\frac{7}{3}$）．

（3）当四边形OMDN是菱形时，如图点M的纵坐标是$\frac{3}{2}$．

把y=$\frac{3}{2}$代入直线y=-$\frac{2}{3}$x+3，得-$\frac{2}{3}$x+3=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{9}{4}$，
则点M的坐标是（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$），
∵四边形OMDN是菱形，
∴M、N关于OC对称，
∴点N的坐标是（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，属于中考压轴题．