Question

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA•BD=BC•BE．
（1）求证：AE=AD；
（2）如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD²=BE•BF．

Answer 1

分析：（1）先把乘积式转化为比例式，再根据BD平分∠ABC得∠ABE=∠CBD，然后证明△ABE与△CBD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到∠ADE=∠AED，再利用等角对等边的性质即可证明；
（2）根据CF=CD，利用等边对等角的性质可得∠CDF=∠CFD，再利用等角的补角相等得到∠BDA=∠BFC，然后证明△BDA与△BFC相似，根据相似三角形对应边成比例有

BA

BC

=

BD

BF

，再与

BA

BC

=

BE

BD

联立可得

BD

BF

=

BE

BD

，然后把比例式转化为乘积式即可．

解答：证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴

BA

BC

=

BE

BD

，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴

BA

BC

=

BD

BF

，
又∵

BA

BC

=

BE

BD

，
∴

BD

BF

=

BE

BD

，
∴BD²=BE•BF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，把乘积式转化为比例式是证明三角形相似的关键，（2）中证明比例式通常都是通过相似三角形对应边成比例列出比例式然后再把比例式转化为乘积式，也是常用的方法，需要熟练掌握并灵活运用．