Question

如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．请用x的代数式表示y．
（3）在条件（2）下，当E点在AB上运动到什么位置时，△ADE∽△EDF．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两组角对应相等，两三角形相似证明；
（2）表示出BE，然后根据相似三角形的列式整理即可得解；
（3）由△ADE∽△EDF得

AD

AE

=

DE

EF

，再根据△ADE∽△BEF可得

DE

EF

=

AD

BE

，然后代入数据进行计算即可得解．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
又∵∠1+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BEF；

（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，AE=x，
∴BE=4-x，
∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

，
即

4

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

4

x²+x；

（3）解：∵△ADE∽△EDF，
∴

AD

AE

=

DE

EF

，
∵△ADE∽△BEF，
∴

DE

EF

=

AD

BE

，
∴

AD

AE

=

AD

BE

，
∴AE=BE，
∴点E为AB的中点，
故，当E点在AB上运动到AB的中点位置时，△ADE∽△EDF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，主要涉及相似三角形对应边成比例的性质，找出三角形相似的条件并熟记相似三角形的性质是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．