Question

10．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）把B （2，-4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得出m的值，再把A（-4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；
（3）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（4）观察函数图象得到当x＜-4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使kx+b-$\frac{m}{x}$＜0．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$．
∵点A（-4，n）在y=-$\frac{8}{x}$上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=-x-2．

（2）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点，
∴方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解是x₁=-4，x₂=2．

（3）∵当y=0时，x=-2．
∴点C（-2，0）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6；

（4）不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集为-4＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．