Question

【题目】如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.

（1）求证:；

（2）若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析：(1)根据正方形的性质，用SAS证明△AED≌△BFA，得到∠ADE＝∠BAF，再证∠BAF＋∠AED＝90°；(2)根据∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，证得△ADE∽△PAE，由对应边成比例求解.

详解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BF，

∴△AED≌△BFA(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，

∴∠APE＝90°，即AF⊥DE.

(2)Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，

由勾股定理得，DE＝5.

∵∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，

∴△ADE∽△PAE，∴AE2＝EP·ED.

∴32＝5EP，EP＝.