【题目】如图，在平面直角坐标系中，将正方形
绕点
逆时针旋转
后得到正方形
，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形
，如果点
的坐标为（1，0），那么点
的坐标为________．
【答案】
【解析】
根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：OB=
，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45，
∴B1(0,
),B2(1,1),B3(,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为(,0)
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【题目】已知关于x的方程 (m-1)x
-mx+1=0。
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若m为整数，当m为何值时，方程有两个不相等的整数根。
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【题目】（定义新知）在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2 ，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．
（初步应用）
（1）在数轴上，点A、B、C分别表示数－1、2、x， 解答下列问题：
①d (A，B)＝ ；
②若d(A，C)＝2，则x的值为 ；
③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有 个．
（综合应用）
（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数－2、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．
①当t＝ 时，d(D，P)＝3；
②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P)．
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【题目】如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE.
(2)连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形。
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【题目】已知：△ABC中，∠C=90°．
（1）如图1，若AC=4，BC=3，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长；
（2）如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB(注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注) ．
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【题目】如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．
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【题目】如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1=_____．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010=_____．
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【题目】有20筐白菜，以每筐30千克为标准，超过千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下表：
与标准质量的差值（单位：千克） |
|
|
| 0 | 1 | 2.5 |
筐数 | 1 | 4 | 4 | 2 | 3 | 6 |
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克；
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价3.5元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
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