Question

1．如图，在直角坐标系中，OA=3，OC=4，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）设点B（0，m），记平行四边形ABCD的面积为S，请写出S与m的函数关式，并求当BD取得最小值时的S的值；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式，再根据AD∥y轴即可找出当BD最短时m的值，将其代入S关于m的函数关系式中即可得出结论；
（3）根据菱形的性质找出m的值，从而找出点B的坐标，设点P的坐标为（n，0），根据两点间的距离公式找出AP、BP、AB的长度，分AP=BP、AP=AB、BP=AB三种情况求出n值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵OA=3，OC=4，
∴A（-3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4．
（2）∵点B（0，m），四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴m＜4，BC=4-m，
∴S=BC•OA=-3m+12（m＜4）．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小（如图1）．
∵AD∥OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD=OB=BC，
∴点B为OC的中点，即m=$\frac{4}{2}$=2，
此时S=-3×2+12=6．
∴S与m的函数关式为S=-3m+12（m＜4），当BD取得最小值时的S的值为6．
（3）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，BC=4-m，
∴$\sqrt{9+{m}^{2}}$=4-m，
解得：m=$\frac{7}{8}$，
∴B（0，$\frac{7}{8}$）．
设点P的坐标为（n，0），
∵A（-3，0），B（0，$\frac{7}{8}$），
∴PA=|n+3|，PB=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$，AB=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$．
△PAB是等腰三角形分三种情况：
①当PA=PB时，有|n+3|=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$，
解得：n=-$\frac{527}{384}$，
此时点P的坐标为（-$\frac{527}{384}$，0）；
②当PA=AB时，有|n+3|=$\frac{25}{8}$，
解得：n₁=$\frac{1}{8}$，n₂=-$\frac{49}{8}$，
此时点P的坐标为（-$\frac{49}{8}$，0）或（$\frac{1}{8}$，0）；
③当PB=AB时，有$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$=$\frac{25}{8}$，
解得：n₃=-3（舍去），n₄=3，
此时点P的坐标为（3，0）．
综上可知：点P的坐标为（-$\frac{527}{384}$，0）、（-$\frac{49}{8}$，0）、（$\frac{1}{8}$，0）或（3，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）分三种情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握多边形的性质是关键．