Question

【题目】将两个全等的△ABC 和△DBE 按图 1 方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F．

（1）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，如图 2，请你直接写出线段 AF，EF，DE 的数量关系；

（2）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且 60°≤β≤180°，其它条件不变．

①如图 3，（1）中线段 AF，EF，DE 的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明该结论；若不成立，请写出新的结论并证明．

②如图 4，AB 中点为 M，BE 中点为 N，若 BC＝ 2，连接 MN，当β＝ 度时，MN 长度最大，最大值为 　　　 （直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）AF+EF=DE；（2）①不成立．此时AF、EF与DE的关系为AF-EF=DE；②180,

【解析】

（1）连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根据直角三角形的HL判定全等即可得出答案；

（2）①同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，即可得出答案；②先利用三角形的三边关系，判断出点M，B，N在同一条直线上时，MN最大，即可得出答案．

解：（1）AF+EF=DE

连接BF（如图①），

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，AC=DE

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴∠BCF=∠BEF=90°，

∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE，

∴CF=EF，

又∵AF+CF=AC，

∴AF+EF=DE；

（2）①不成立．此时AF、EF与DE的关系为AF-EF=DE，

理由：连接BF（如图③），

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，AC=DE，

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴∠BCF=∠BEF=90°，

又∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE，

∴CF=EF，

又∵AF-CF=AC，

∴AF-EF=DE，

∴（1）中的结论不成立，正确的结论是AF-EF=DE

②在△BMN中，BN+BM>MN

∴点M,B,N在同一条直线上时

MN最大，最大值为BN+BM

即

由（1）知，BE=BC=

∵点N是BE的中点

∴BN=BE=

在RT△ABC中，∠A=30°，BC=

∴AB=2BC=

∵点M是AB的中点

∴BM=AB=

∴MN的最大值为：BN+BM==

故答案为：180,．