Question

15．已知：抛物线l₁：y=-x²+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，3）．
（1）求抛物线l₂的函数表达式；
（2）P为抛物线l₁的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC=90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l₂上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l₁于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过解方程-x²+2x+3=0得A（-1，0）设交点式y=a（x+1）（x-6），然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线l₂的解析式；
（2）先求出C（0，3）和抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为直线x=1，则设P（1，t），利用两点间的距离公式和勾股定理得到1²+（t-3）²+2²+t²=10，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；
（3）抛物线l₂与抛物线l₁经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3=-x²+2x+3得F（4，-5），设M（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3），则N（x，-x²+2x+3），讨论：当-1≤x＜4时，MN=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6；当4≤x≤6时，MN=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x-6=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{75}{8}$，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

解答 解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0）
设抛物线l₂的解析式为y=a（x+1）（x-6），
把D（0，-3）代入得a•1•（-6）=-3，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线l₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-6），即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3；
（2）当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3）
抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为直线x=1，
设P（1，t），则AC²=1²+3²=10，PC²=1²+（t-3）²，PA²=2²+t²，
∵∠APC=90°，
∴PC²+PA²=AC²，即1²+（t-3）²+2²+t²=10，
整理得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2，
∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）抛物线l₂与抛物线l₁经过的另一个交点为F，如图2，
解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3=-x²+2x+3得x₁=-1，x₂=4，则F（4，-5），
设M（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3），则N（x，-x²+2x+3），
当-1≤x＜4时，MN=-x²+2x+3-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，此时x=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值$\frac{75}{8}$；
当4≤x≤6时，MN=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3-（-x²+2x+3）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x-6=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{75}{8}$，此时x=6时，MN有最大值21；
所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．